MODUL DISTRIBUSI POISSON

1. Pendahuluan

Distribusi Poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D. Poisson. Distibusi ini merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0,1, 2, 3 dst. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang Poisson untuk peluang Binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam situasi tertentu.

Rumus Poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah kedatangan, misalnya : probabilitas jumlah kedatangan nasabah pada suatu bank pada jam kantor. Distribusi Poisson ini digunakan untuk menghitung probabilitas menurut satuan waktu.

Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial

Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial dilakukan untuk mendekatkan probabilitas probabilitas dari kelas sukses (x) dari n percobaan Binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan probabilitas kelas sukses (p) sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah bahwa n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20 atau lebih dari 20 dan p adalah 0.05 atau kurang dari 0.05. Pada pendekatan ini rumusnya lebih mudah untuk digunakan dibandingkan dengan rumus Binomial.

Rumus pendekatannya adalah :

P ( x ; μ ) = e ^{– μ} . μ ^X

X ! Dimana : e = 2.71828

μ = rata – ratakeberhasilan = n . p

x = Banyaknya unsur berhasil dalam sampel

n = Jumlah / ukuran populasi

p = probabilitas kelas sukses

Contoh soal :

1. Dua ratus penumpang telah memesan tiket untuk sebuah penerbangan luar negeri. Jika probabilitas penumpang yang telah mempunyai tiket tidak akan datang adalah 0.01 maka berapakah peluang ada 3 orang yang tidak datang.

2. Rata – rata seorang sekretaris baru melakukan lima kesalahan mengetik per halaman. Berapakah peluang bahwa pada halaman berikut ia :

   1. Tidak ada kesalahan ( x = 0 )

   2. Tidak lebih dari tiga kesalahan ( x ≤ 3) atau ( 0,1,2,3 )

   3. Lebih dari tiga kesalahan ( x > 3 ) atau ( 4,…,15)

Jawab :

1. Dik : n = 200, P = 0.01, X = 3, μ = n . p = 200 . 0.01 = 2

P ( x ; μ ) = e ^{– μ} . μ ^X

X!

= 2.71828 ^{– 2} . 2 ³ = 0.1804 atau 18.04 %

3!

2. Dik : μ = 5

a. x = 0 P ( x ; μ ) = e ^{– μ} . μ ^X

X!

P ( 0 ; 5 ) = 2.71828 ^{– 5} . 5 ⁰ = 0.0067

0!

b. x ≤ 3 ; P ( x ; μ ) = e ^{– μ} . μ ^X

X!

P (x ≤ 3 , 5) = P( x 1, μ ) +….+p(x3, μ)

= P( 0, 5 ) + P (1, 5 ) + P ( 2, 5 ) + P ( 3, 5 )

= 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404

= 0.2650 atau 26.5 %

c. X > 3 ; P ( x ; μ ) = e ^{– μ} . μ ^X

X!

P (X > 3 , 5) = P( X ₄, μ ) +….+p(X ₁₅, μ)

= P( 4, 5 ) + P (5, 5 ) + …… + P ( 15, 5 ) atau

P (X > 3 , 5) = 1 – [P ( X ≤ 3 , 5 ) ]

= 1 – [ P ( X ₀, μ ) +….+ p (X ₃, μ) ]

= 1 – [ P ( 0, 5 ) +….+p ( 3, 5 ) ]

= 1 – [ 0.2650 ]

= 73.5 %

Rumus Proses Poisson

Distribusi Poisson dalam konteks yang lebih luas dari pada rumus pertama tadi. Sebagai ilustrasi, misalkan pada hari Senin ini adalah jam kerja yang sibuk pada suatu bank, dan kita tertarik oleh jumlah nasabah yang mungkin datang selama jam kerja tersebut, dengan ketertarikan kita sebenarnya terletak pada interval waktu dan jumlah kedatangan dalam interval waktu jika proses kedatangannya mempunyai karakteristik sebagai berikut:

1. Tingkat kedatangan rata – rata setiap unit waktu adalah konstant.

Dalam ilustrasi tadi dapat berarti bahwa jika tingkat kedatangan rata – rata untuk periode jam adalah, misalkan 72 kedatangan setiap jam, maka tingkat ini melambangkan interval waktu pada jam kerja tadi : yaitu tingkat yang dapat dirubah kepada rata – rata yaitu 36 kedatangan setiap ½ jam atau 1.2 kedatangan setiap menit.

2. Jumlah kedatangan pada interval waktu tidak bergantung pada ( bebas apa yang terjadi di interval waktu yang sudah lewat. Dalam ilustrasi tadi, dapat berarti bahwa kesempatan dari sebuah kedatangan di menit berikutnya adalah sama.

3. Tidak memiliki kesamaan bahwa akan lebih dari satu kedatangan dalam interval pendek, semakin pendek interval, semakin mendekati nol adalah probabilitas yang lebih dari satu kedatangan. Dalam ilustrasi tadi, bisa berarti bahwa adalah tidak mungkin untuk lebih dari satu nasabah yang dapat melawati jalan masuk dalam waktu satu detik.

Rumus proses poisson :

P ( x ) = e ^{–λ . t} . ( λ . t ) ^x

X! Dimana :λ = Tingkat rata – rata kedatangan tiap unit waktu

t = Jumlah unit waktu

x = Jumlah kedatangan dalam t unit waktu

Contoh soal :

Jika rata – rata kedatangan λ = 72 setiap jam, berapakah peluang dari x = 4 kedatangan dan t = 3 menit. Gunakan proses poisson.!

Jawab :

Dik : λ = 72 kedatangan setiap jam atau 72 / jam maka 1 jam atau 60 menit adalah unit waktunya. Berarti 3 menit adalah 3 / 60 = 1 / 20 unit waktu maka t t = 1 / 20 dan x = 4

P ( x ) = e ^{–λ . t} . ( λ . t ) ^x

X!

P ( x ) = e ^{–72 . ( 1/ 20 )} . ( 72 . 1 / 20 ) ⁴

4!

= 0.191 atau 19.1 %

MODUL DISTRIBUSI NORMAL

A. PENDAHULUAN
Diantara sekian banyak distribusi barangkali distribusi normal merupakan distribusi yang secara luas banyak digunakan dalam berbagai penelitian.
Banyak kejadian yang dapat dinyatakan dalam data hasil observasi per eksperimen yang mengikuti distribusi normal. Misalkan antara lain tinggi badan, berat badan, isi sebuah botol, nilai hasil ujian dan lain-lain.

B. DISTRIBUSI NORMAL
Distribusi normal adalah suatu distribusi yang digunakan untuk mengetahui probabilitas yang telah diketahui rata-rata dan simpangan bakunya. Perhitungan probabilitas suatu sampel yang diambil, didapat dengan cara melakukan transformasi nilai-nilai pengukuran ke dalam bentuk bakunya ( nilai Z ) dengan cara :
Z= x - µ ket : Z = standar normal µ = rata-rata populasi
σ x = rata-rata sample σ = standar deviasi

KURVA NORMAL

σ
µ x
Kurva normal mempunyai bentuk seperti lonceng dan simetris terhadap rata-rata (µ).
Untuk keperluan probabilitas, luas kurva normal disamakan dengan 1 satuan ( 100% ).
Mencari luas daerah pada suatu kurva normal dengan menggunakan tabel:
P( 0 ≤ z ≤ a )= nilai tabel a






P( z ≥ a )= 0.5 - nilai tabel a




P( z ≥ -a ) = 0.5 + nilai tabel -a




P( z ≤ a )= nilai tabel a + 0.5




P( a1 ≤ z ≤ a2 )= nilai table a2 - nilai tabel a1




P( a1 ≤ z ≤ a2 )= nilai tabel a2 + nilai tabel a1









Contoh Soal : Mawar adalah seorang peragawati yang akan diseleksi dengan tinggi badan 173 cm. Standar tinggi badan rata-rata peragawati adalah 171,8 dan standar deviasinya adalah 12. Berapakah standar normalnya (Z) ?
Penyelesaian :
Dik : x = 173, µ = 171,8, σ = 12
Dit : Z ?
Jawab : Z = x - µ
σ
= 173 – 171.8 = 0.1
12

C. PENDEKATAN DISTRIBUSI BINOMIAL KE DISTRIBUSI NORMAL
Jumlah suatu distribusi mempunyai n ≥ 30 dan n,p ≥ 5 atau n(1-p)≥ 5 maka penyelasaian probabilitas dapat menggunakan pendekatan distribusi binomial ke distribusi normal dengan terlebih dahulu mencari nilai µ dan σ yaitu :
σ = √ n . p . q ket : p= probabilitas sukses
µ = n . p q= probabilitas gagal
q =1 - p
Kalau x merupakan varibel diskrit sekaligus variabel continue maka perlu diadakan koreksi dengan menambah atau mengurangi nilainya dengan 0.5
Contoh Soal : Akhir tahun 1999, jumlah mahasiswa Kampus Selang sebanyak 752 orang. Yang mendapat bea siswa dari kampus tersebut ada 650 orang. Peluang yang mendapat bea siswa adalah 90%. Berapakah :
a.Rata-rata mahasiswa yang seharusnya mendapat bea siswa ?
b.Standar deviasinya ?
c.Standar normalnya ?





Penyelesaian :
Dik : x = 650, n = 752, p = 90% = 0.9
q = 1 – p
= 1 – 0.9
= 0.1
Dit : a. µ : ?
b. σ : ?
c. Z : ?
jawab :
a. µ = n . p
= 752 . 0.9
= 676.8
b. σ = √ n . p . q
= √ 752 . 0.9 . 0.1
= √ 67.68
= 8.227
c. Z = (x - µ )/σ

= 650 – 676.8/ 8.227

= - 26.8 / 8.227
= - 3.258

Teori Pengantar Akuntansi 1

1.PENGERTIAN AKUNTANSI
Akuntansi adalah : suatu proses pencatatan (Record) , penggolongan (Classifying), peringkasan (Summarizing) pelaporan dan penganalisaan data keuangan dari suatu organisasi atau perusahaan.


2.MANFAAT INFORMASI AKUNTANSI
Pihak yang memerlukan informasi akuntansi adalah :
1.Pemilik
2.Kreditur
3.Pemerintah
4.karyawan
5.manajemen
6.Federasi / organisasi buruh

3.BIDANG AKUNTANSI DAN SPESIALISASI
1.Akuntan public / akuntan ekstern
2.Akuntan privat / akuntan intern
3.Akuntan Pemerintah
4.Akuntan Pendidik

4. PRINSIP DAN KONSEP AKUNTANSI
1. Konsep Entitas
2. Prinsip Obyektivitas
3. Prinsip Cost / biaya

5. JENIS DAN BENTUK PERUSAHAAN
Menurut Jenisnya :
1.Perusahaan jasa
2.Perusahaan Dagang
3.Perusahaan Manufaktur
Menurut Bentuknya :
1.Perusahaan Perseorangan
2.Perusahaan Perseroan
3.Perusahaan Jasa

6. PERSAMAAN DASAR AKUNTANSI
Adalah persamaan yang menunjukkan keseimbangan antara aktiva atau harta dengan pasiva .Dengan demikian dapat digambarkan sebagai berikut :

AKTIVA = PASIVA

AKTIVA = HUTANG + MODAL


Jika perusahaan sudah berkembang maka persamaannya menjadi :

AKTIVA = HUTANG + MODAL + PENDAPATAN – BIAYA

MODUL DISTRIBUSI BINOMIAL

DEFINISI
Distribusi Binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi label “berhasil” bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau “gagal” bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama,taitu sebasar ½..(Ronald E. Walpole)

CIRI – CIRI DISTRIBUSI BINOMIAL
Percobaan diulang sebanyak n kali.
Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan ke dalam 2 kelas, misal :
“BERHASIL” atau “GAGAL”;
“YA” atau “TIDAK”;
“SUCCESS” or “FAILED”.
Peluang berhasil / sukses dinyatakan dengan p dan dalam setiap ulangan nilai p tetap. Peluang gagal dinyatakan dengan q, dimana q = 1-p.
Setiap ulangan bersifat bebas (independen) satu dengan lainnya.
Percobaannya terdiri atas n ulangan (Ronald.E Walpole)
Nilai n < 20 dan p > 0.05

RUMUS DISTRIBUSI BINOMIAL
b(x;n,p) = nCx px qn-x dimana x = 0,1,2,3,…,n
n : banyaknya ulangan
x : banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x
p : peluang berhasil dalam setiap ulangan
q : peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap ulangan

Catatan : Agar anda mudah dalam membedakan p dengan q, anda harus dapat menetapkan mana kejadian SUKSES dan mana kejadian GAGAL. Anda dapat menetapkan bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan atau ditanyakan adalah = kejadian SUKSES.

Contoh Distribusi Binomial :
1.Berdasarkan data biro perjalanan PT Mandala Wisata air, yang khusus menangani perjalanan wisata turis manca negara, 20% dari turis menyatakan sangat puas berkunjung ke Indonesia, 40% menyatakan puas, 25% menyatakan biasa saja dan sisanya menyatakan kurang puas. Apabila kita bertemu dengan 5 orang dari peserta wisata turis manca negara yang pernah berkunjung ke Indonesia, berapakah probabilitas :
a.Paling banyak 2 di antaranya menyatakan sangat puas.
b.Paling sedikit 1 di antaranya menyatakan kurang puas
c.Tepat 2 diantaranya menyatakan biasa saja
d.Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas
Jawab :
a.X ≤ 2
Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :
b(x; n, p) = b(0; 5, 0.20) + b(1; 5, 0.20) + b(2; 5, 0.20) =
0.32768 + 0.40960 + 0.20480 = 0.94208 atau
b(x=0) = 5C0 (0.20)0 (0.80)5 = 0.32768
b(x=1) = 5C1 (0.20)0 (0.80)4 = 0.40960
b(x=2) = 5C2 (0.20)0 (0.80)3 = 0.20480
+
Maka hasil x ≤ 2 adalah = 0.94208
b.X ≥ 1
Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :
b(1; 5, 0.15) + b(2; 5, 0.15) + b(3; 5, 0.15) + b(4; 5, 0.15) + b(5; 5, 0.15) =
0.3915 + 0.1382 + 0.0244 + 0.002 + 0.0001 = 0.5562 atau
b(x ≥1; 5, 0.15) = 1 – b(x = 0)
1 – 5C0 (0.15)0 (0.85)5
1 – 0.4437 = 0.5563
c.X = 2
b(2; 5, 0.25) = 0.2637
d.X ≤ 2 X ≤ 4
Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :
b(2; 5, 0.40) + b(3; 5, 0.40) + b(4; 5, 0.40) = 0.3456 + 0.2304 + 0.0768 = 0.6528
Analisis masing – masing point :
a.Sebanyak paling banyak 2 dari 5 orang dengan jumlah 0.94208 atau 94,28% yang menyatakan sangat puas adalah sangat besar.
b.Paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti semuanya) dengan jumlah 0,5563 atau 55,63% yang menyatakan kurang puas dapat dikatakan cukup besar (karena lebih dari 50%).
c.Tepat 2 dari 5 orang yang menyatakan biasa saja dengan jumlah 0,2637 atau 26,37% adalah kecil (karena dibawah 50%).
d.Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas dengan jumlah 0,6528% atau 65,28% dapat dikatakan cukup besar.
Analisis keseluruhan :
A. Persentase
Jika diambil persentase terbesar tanpa memperhatikan jumlah X, maka persentase terbesar ada di point pertama (a) yaitu 94,28% yang menyatakan sangat puas. Hal tersebut menandakan banyak turis manca negara yang sangat menyukai Indonesia.
B. Nilai X
Jika dilihat dari jumlah X, maka perlu diperhatikan point kedua (b). Jumlah X adalah paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti X>=1) yaitu 55,63% yang menyatakan kurang puas . Hal tersebut berarti kelima (semua) turis manca negara kurang puas terhadap kunjungannya ke Indonesia.






2.Kepala bagian produksi PT SAMSUNG melaporkan bahwa rata - rata produksi televisi yang rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15 %. Jika dari total produksi tersebut diambil secara acak sebanyak 4 buah televisi, berapakah perhitungan dengan nilai probabilitas 2 ?
Jawab : p ( rusak ) = 0,15, q ( baik ) = 0,85, x = 2, n = 4
Rumus : b ( x ; n ; p ) = nCx px q n-x
b (x = 2 ; 4 ; 0,12 ) = 4C2 (0,15)2 (0,85)(4 – 2)
= 0,0975
Analisis : Dengan jumlah 0,0975 atau 9,75% dari sampel acak sebanyak 4 buah televisi dan rata – rata produk rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15%, dapat dikatakan kecil. Namun pada kenyataannya, meskipun dilihat secara persentase kecil (hanya 9,75%) yang namanya produk rusak harus tetap dikurangi atau bahkan dihilangkan untuk mengurangi kerugian.

RATA – RATA dan RAGAM DISTRIBUSI BINOMIAL
Rata – rata μ = n . p
Ragam σ2 = n . p . q
n : ukuran populasi
p : peluang berhasil dalam setiap ulangan
q : peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap ulangan

Contoh Rata – rata dan Ragam Distribusi Binomial :
Untuk b (5; 5, 20) dimana x = 5, n = 5 dan p = 0.20
q = 1-p ; q = 1-0.20 = sehingga q = 0.80
maka :  = 5 x 0.20 = 1
2 = 5 x 0.20 x 0.8 = 0.80
 =  0.80 = 0.8944