MODUL DISTRIBUSI POISSON

1. Pendahuluan

Distribusi Poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D. Poisson. Distibusi ini merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0,1, 2, 3 dst. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang Poisson untuk peluang Binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam situasi tertentu.

Rumus Poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah kedatangan, misalnya : probabilitas jumlah kedatangan nasabah pada suatu bank pada jam kantor. Distribusi Poisson ini digunakan untuk menghitung probabilitas menurut satuan waktu.

Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial

Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial dilakukan untuk mendekatkan probabilitas probabilitas dari kelas sukses (x) dari n percobaan Binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan probabilitas kelas sukses (p) sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah bahwa n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20 atau lebih dari 20 dan p adalah 0.05 atau kurang dari 0.05. Pada pendekatan ini rumusnya lebih mudah untuk digunakan dibandingkan dengan rumus Binomial.

Rumus pendekatannya adalah :

P ( x ; μ ) = e ^{– μ} . μ ^X

X ! Dimana : e = 2.71828

μ = rata – ratakeberhasilan = n . p

x = Banyaknya unsur berhasil dalam sampel

n = Jumlah / ukuran populasi

p = probabilitas kelas sukses

Contoh soal :

1. Dua ratus penumpang telah memesan tiket untuk sebuah penerbangan luar negeri. Jika probabilitas penumpang yang telah mempunyai tiket tidak akan datang adalah 0.01 maka berapakah peluang ada 3 orang yang tidak datang.

2. Rata – rata seorang sekretaris baru melakukan lima kesalahan mengetik per halaman. Berapakah peluang bahwa pada halaman berikut ia :

   1. Tidak ada kesalahan ( x = 0 )

   2. Tidak lebih dari tiga kesalahan ( x ≤ 3) atau ( 0,1,2,3 )

   3. Lebih dari tiga kesalahan ( x > 3 ) atau ( 4,…,15)

Jawab :

1. Dik : n = 200, P = 0.01, X = 3, μ = n . p = 200 . 0.01 = 2

P ( x ; μ ) = e ^{– μ} . μ ^X

X!

= 2.71828 ^{– 2} . 2 ³ = 0.1804 atau 18.04 %

3!

2. Dik : μ = 5

a. x = 0 P ( x ; μ ) = e ^{– μ} . μ ^X

X!

P ( 0 ; 5 ) = 2.71828 ^{– 5} . 5 ⁰ = 0.0067

0!

b. x ≤ 3 ; P ( x ; μ ) = e ^{– μ} . μ ^X

X!

P (x ≤ 3 , 5) = P( x 1, μ ) +….+p(x3, μ)

= P( 0, 5 ) + P (1, 5 ) + P ( 2, 5 ) + P ( 3, 5 )

= 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404

= 0.2650 atau 26.5 %

c. X > 3 ; P ( x ; μ ) = e ^{– μ} . μ ^X

X!

P (X > 3 , 5) = P( X ₄, μ ) +….+p(X ₁₅, μ)

= P( 4, 5 ) + P (5, 5 ) + …… + P ( 15, 5 ) atau

P (X > 3 , 5) = 1 – [P ( X ≤ 3 , 5 ) ]

= 1 – [ P ( X ₀, μ ) +….+ p (X ₃, μ) ]

= 1 – [ P ( 0, 5 ) +….+p ( 3, 5 ) ]

= 1 – [ 0.2650 ]

= 73.5 %

Rumus Proses Poisson

Distribusi Poisson dalam konteks yang lebih luas dari pada rumus pertama tadi. Sebagai ilustrasi, misalkan pada hari Senin ini adalah jam kerja yang sibuk pada suatu bank, dan kita tertarik oleh jumlah nasabah yang mungkin datang selama jam kerja tersebut, dengan ketertarikan kita sebenarnya terletak pada interval waktu dan jumlah kedatangan dalam interval waktu jika proses kedatangannya mempunyai karakteristik sebagai berikut:

1. Tingkat kedatangan rata – rata setiap unit waktu adalah konstant.

Dalam ilustrasi tadi dapat berarti bahwa jika tingkat kedatangan rata – rata untuk periode jam adalah, misalkan 72 kedatangan setiap jam, maka tingkat ini melambangkan interval waktu pada jam kerja tadi : yaitu tingkat yang dapat dirubah kepada rata – rata yaitu 36 kedatangan setiap ½ jam atau 1.2 kedatangan setiap menit.

2. Jumlah kedatangan pada interval waktu tidak bergantung pada ( bebas apa yang terjadi di interval waktu yang sudah lewat. Dalam ilustrasi tadi, dapat berarti bahwa kesempatan dari sebuah kedatangan di menit berikutnya adalah sama.

3. Tidak memiliki kesamaan bahwa akan lebih dari satu kedatangan dalam interval pendek, semakin pendek interval, semakin mendekati nol adalah probabilitas yang lebih dari satu kedatangan. Dalam ilustrasi tadi, bisa berarti bahwa adalah tidak mungkin untuk lebih dari satu nasabah yang dapat melawati jalan masuk dalam waktu satu detik.

Rumus proses poisson :

P ( x ) = e ^{–λ . t} . ( λ . t ) ^x

X! Dimana :λ = Tingkat rata – rata kedatangan tiap unit waktu

t = Jumlah unit waktu

x = Jumlah kedatangan dalam t unit waktu

Contoh soal :

Jika rata – rata kedatangan λ = 72 setiap jam, berapakah peluang dari x = 4 kedatangan dan t = 3 menit. Gunakan proses poisson.!

Jawab :

Dik : λ = 72 kedatangan setiap jam atau 72 / jam maka 1 jam atau 60 menit adalah unit waktunya. Berarti 3 menit adalah 3 / 60 = 1 / 20 unit waktu maka t t = 1 / 20 dan x = 4

P ( x ) = e ^{–λ . t} . ( λ . t ) ^x

X!

P ( x ) = e ^{–72 . ( 1/ 20 )} . ( 72 . 1 / 20 ) ⁴

4!

= 0.191 atau 19.1 %